analogi simbol

09042008.

Senja sore ini indah. Awan putih abu-abu dan langit masih terindah dengan birunya. Aroma tanah sehabis hujan dan hembus angin bergelimang kesejukan manyapa. Tampak hijau rimbun rerumputan. Lampu pijar tak menyala berjejer, dan kelihatan rapi karena terapit oleh lunglai dedaunan pohon palm mengayun. Aku merdeka, bak di dalam syurga.

Tut, tut… tut, tut…

HP ku berbunyi. Kukenali nada itu sebagai tanda bahwa ada satu pesan baru mengisi kotak pesanku.

 

OK, Bos…

Sender:

M02-Lumba

+6281341891345

Message centre:

+62811049815

Sent:

8-Apr-2008

16:52:28   

 

Setelah membaca sms itu, aku mulai menelusuri mozaik-mozaik ilmiah dalam pikiranku. Sedikit lebih dalam, akhirnya aku menemukannya. Inilah mozaik-mozaik itu…

 

Teori himpunan dalam analogi

 

Adalah terori himpunan yang menjadi konsep menarik untuk aku tuangkan dalam tulisan ini. Berbicara tentang teori, dalam ilmu matematika bahkan sains, berarti kita akan berbicara tentang definisi. Tidak seperti dunia kita yang kadang hanya teori belaka, aku menyebutnya teori hampa, tak berisi tak pula bermakna. Mari menyelami dunia matematika yang tak sekedar teori itu…

 

     1.   Definisi Himpunan

Himpunan adalah kumpulan dari elemen-elemen atau unsur-unsur yang keanggotaannya didefinisikan dengan jelas.  

Definisi ini mungkin masih agak kasar untuk orang matematika, tetapi aku belum menemukan definisi yang lebih halus dari definisi tersebut di atas. Aku akan mulai menganalogikan definisi ini kedalam bentuk nyata yang mungkin lebih bisa memahamkan.

Misalkan A = {rustam, luqman, acha}. A disebut himpunan mahasiswa Jurusan Matematika Unhas angkatan 2002 yang masih berjuang untuk mendapatkan identitas (lebih tepatnya, status) baru, S.Si,.

Misalkan B = {yusri, eros, samba, ajif}. B adalah himpunan mahasiswa Jurusan Matematika Unhas angkatan 2004 yang lebih bisa menikmati hidup ketika berada di Asrama Mahasiswa.

Misalkan C = {acong}. C merupakan himpunan mahasiswa Jurusan Matematika Unhas angkatan 2003 yang menjadi anggota KPU KEMA Unhas.

Yusri bukan merupakan elemen himpunan A, disimbolkan sebagai  yusri Ï A.

Luqman adalah elemen himpunan A, disimbolkan sebagai Luqman Î A.

2.   Contoh-contoh himpunan

a. Himpunan bilangan bulat Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}

     Definisi di atas sejenak membuat aku berpikir sedikit humanity. Kita adalah bilangan bulat. Aku mencoba menganalogikan tanda negatif dari elemen bilangan bulat ini sebagai sisi-sisi lemah kita. Bahwasanya setiap kita terlahir dengan kekurangan dan kelebihan masing-masing. Jika setiap kali terjadi perubahan pada diri kita, maka ingatlah bahwa kita adalah bilangan bulat. Ada unsur-unsur negatif dan juga unsur-unsur bernilai positif. Maka berbahagialah mereka yang memahami definisi bilangan bulat dengan benar. Dengannya tidak akan ada lagi rasa benci pada diri sendiri akibat kekurangan kita, sebab pasti ada dalam diri kita titik-titik positif itu. Dengannya tidak akan ada lagi rasa kecil hati, iri serta dengki terhadap kelebihan orang lain, karena jauh di sana terdapat mereka yang memiliki kekurangan melebihi kekurangan kita. Dengannya tidak akan ada lagi rasa sombong tersemai dalam hati, sebab jauh di sana terdapat banyak yang melebihi kita dan di dalam diri kitapun ada sejuta kekurangan yang mungkin kita sendiri tidak mengetahuinya.

b. Himpunan bilangan bulat positif Z⁺ = {1, 2, 3, …}

     Himpunan ini adalah himpunan yang mengandung elemen-elemen positif. Tidak terdapat elemen negatif dalam himpunan ini. Jangankan nilai negatif, bahkan angka 0 pun terhapus dari sombongnya himpunan ini. Tetapi ini adalah kesombongan yang layak diacungi jempol. Aku menganalogikan himpunan ini sebagai himpunan SEMANGAT. Seharusnya semangat kita berada dalam himpunan ini. Semangat untuk hidup, semangat untuk belajar, semangat untuk menjadi… Bagaimana jika kita tidak lagi memiliki semangat untuk belajar? Ini berarti kita berada dalam himpunan bulat non-negatif. Himpunan bulat yang hampir sama elemen-elemennya dengan himpunan bilangan bulat positif, tetapi mengandung unsur 0 di dalamnya; Z-non-negatif = {0, 1, 2, 3, …} (aku belum menemukan symbol untuk jenis himpunan ini).

c. Himpunan kosong, Æ

     Kita bukan himpunan kosong, dengan tingkat kepercayaan 99,99% aku meyakininya. Tetapi bahayanya jika kita menjadi himpunan kosong. Jika itu terjadi, maka tiada guna kita menjadi manusia. Bahkan lebih kasar, mending mati dari pada menjadi himpunan kosong. Kapan hal itu terjadi? Ketika semangat dan gairah untuk hidup itu sudah tidak ada lagi…

 

3.   Operasi pada Himpunan

a)   Penggabungan/union; A È B = {x | x Î A Ú x Î B}

Sedikit lebih teliti untuk menganalogikan definisi ini.

Misalkan   A = {warga angkatan 2004⁺}

                 B = {warga angkatan 2005}

                 C = {warga angkatan 2006}

                 D = {warga angkatan 2007}

                 E = {konstitusi}

Anggap Himatika adalah Himpunan Mahasiswa Matematika FMIPA Unhas, dengan elemen-elemennya antara lain: warga angkatan 2004⁺, warga angkatan 2005, warga angkatan 2006, warga angkatan 2007, konstitusi… Dengan kata lain Himatika adalah penggabungan dari himpunan-himpunan A, B, C, D dan E. Secara matematisnya; Himatika = {A È B È C È D È E}.

Sebuah pertanyaan, dari analogi di atas, bagaimana jika terdapat elemen-elemen dari salah satu himpunan (A, B, C atau D) ini yang bukan merupakan warga? Pertanyaan yang tidak seharusnya dilontarkan. Tetapi untuk memberikan sedikit pemahaman, tidak mengapa jika aku menjawabnya. Analogi di atas memperlihatkan dengan jelas tentang makna penggabungan. Jika yang digabungkan adalah himpunan-himpunan yang semua elemennya adalah warga, maka jelaslah bahwa yang tidak termasuk warga bukan merupakan elemen Himatika. Mungkin akan lebih dijelaskan pada operasi-operasi berikutnya…

b)        Irisan/intersection; A Ç B = {x | x Î A Ù x Î B}

Aku tidak punya cukup kemampuan dalam mengambil analogi untuk definisi ini. Biarlah kita kembali pada analogi definisi himpunan.

Misalkan   A = {rustam, luqman, acha},

                 B = {yusri, eros}.

A adalah himpunan mahasiswa Jurusan Matematika angkatan 2002 yang aktif kuliah semester akhir 2007/2008.

B adalah himpunan mahasiswa Jurusan Matematika angkatan 2004 yang aktif kuliah semester akhir 2007/2008

Bagaimana jika dua himpunan ini diiriskan? Sepintas memang agak sulit, tetapi dengan sedikit lebih peka maka kita akan mendapati hasil irisannya    (x dalam definisi irisan adalah matakuliah Analisa Riil). Misalkan C adalah hasil irisannya, maka

C = A Ç B = {luqman, eros}, dimana C adalah himpunan mahasiswa Jurusan Matematika Unhas yang mengambil matakuliah Analisa Riil pada semester akhir 2007/2008. Jelas, kan?

c)        Komplemen; A^¢ = {x | x Î S Ù x Ï A}

Komplemen dari himpunan A adalah himpunan yang terdiri dari semua anggota himpunan S yang bukan anggota A. Untuk menganalogikan definisi ini, aku hanya akan melanjutkan sedikit pembahasan tentang operasi penggabungan himpunan. Sederhana saja, jika tidak termasuk warga maka dia termasuk dalam komplemennya. Karena yang menjadi elemen-elemen Himatika adalah gabungan dari himpunan-himpunan yang elemennya adalah warga, maka komplemennya bukan merupakan elemen Himatika. Lebih sederhana lagi, jika diketahui bahwa Himatika adalah Himpunan Mahasiswa Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin, maka yang bukan Mahasiswa Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin tidak termasuk dalam elemen Himatika. Nah, dari sini dapat diambil sebuah analogi cantik untuk komplemen; (Himatika)^¢ = {bukan warga, bukan mahasiswa Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin}

 

Tidak cukup menganalogikan simbol-simbol matematika  yang begitu kompleks ke dalam kehidupan kita. Tetapi mungkin tidak ada salahnya jika aku mencoba. Jika dalam menganalogi ini terdapat kata-kata atau ungkapan atau simbol yang tak sesuai pemikiran pembaca, mohon kritikannya…

maja labo dahu pu mori di rasa dou